Strona główna » Liceum » Przedmioty ścisłe » Matematyka


Ogólny schemat badania przebiegu funkcji



Poprzednia praca: Recenzja sztuki „Wesele” Stanisława Wyspiańskiego w Teatrze Polskim we Wrocławiu.
Następna praca: Programowanie liniowe



Treść: Spis treści
1.Ogólny schemat badania przebiegu funkcji...........................................3
2.Przykłady...................................................................................................5
1.Ogólny schemat badania przebiegu funkcji
Zastosujemy obecne wyniki uzyskane w tym rozdziale do badania przebiegu funkcji podanych wzorem (wzorami) w postaci jawnej. Badanie przebiegu funkcji sprowadza się do poznania pewnych własności funkcji, które pozwolą następnie sądzić o kształcie wykresu tej funkcji. Różne części tego badania można ująć szczegółowo w następujących punktach:
I.Analiza funkcji. Badamy te własności, które wynikają tylko z jej wzoru, a więc:
i)wyznaczamy dziedzinę funkcji,
ii)określamy szczególne własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość itp.,
iii)wyznaczamy punkty nieciągłości funkcji,
iv)wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziału jej określoności,
v)wyznaczamy asymptoty,
vi)wyznaczamy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych (dokładnie, o ile łatwo jest je wyznaczyć, lub w przybliżeniu).
II.Analiza pierwszej pochodnej. Badamy te własności, które wynikają z własności jej pierwszej pochodnej, a mianowicie:
i)obliczamy pierwszą pochodną,
ii)wyznaczamy dziedzinę pierwszej pochodnej i punkty jej nieciągłości,
iii)wyznaczamy przedziały monotoniczności, tzn. przedziały, w których pierwsza pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa zeru,
iv)wyznaczamy ekstrema funkcji:
a)w punktach, w których funkcja jest różniczkowalna,
b)w punktach, w których funkcja nie jest różniczkowalna.
III.Analiza drugiej pochodnej. Badamy te własności funkcji, które wynikają z własności jej drugiej pochodnej, a więc:
i)obliczamy drugą pochodną,
ii)wyznaczamy dziedzinę drugiej pochodnej i punkty jej nieciągłości,
iii)wyznaczamy przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji, tzn. przedziały, w których druga pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa zeru,
iv)wyznaczamy punkty przegięcia wykresu funkcji.
IV.Sporządzamy zestawienie tabelaryczne otrzymanych wyników.
V.Sporządzamy wykres funkcji.
Podany schemat przebiegu funkcji jest schematem ogólnym. Nie należy go traktować jako schematu ustalonego. W konkretnych przykładach niektóre z wyszczególnionych punktów mogą nie wchodzić w rachubę, mogą być natomiast potrzebne dodatkowe informacje, jak np. wartości funkcji w pewnych dodatkowych punktach czy też wartości pochodnych wyższego rzędu itp.
2.Przykłady
Przykład 1. Naszkicujemy wykres funkcji .
Od razu widać, że dziedziną funkcji f(x) jest zbiór R, a funkcja nie jest parzysta, ani nieparzysta i nie jest też okresowa. Jej wykres przecina osie układu współrzędnych w punkcie O(0,0).
Funkcja f(x) jest ciągła w całej dziedzinie. Na krańcach dziedziny, czyli w i w , mamy:

oraz
.
Ze względu na to, że funkcja ta jest funkcją ciągłą i Df = R, to funkcja f(x) nie ma asymptot pionowych, a z zachowania się funkcji przy x zdążającym do wiemy, że funkcja ta ma asymptotę poziomą lewostronną o równaniu y = 0. Zbadamy, czy funkcja ma asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną.

Rys. 1
Ponieważ mamy:
,
co oznacza, że nie istnieje asymptota ukośna (pozioma) prawostronna.
Obliczając pierwszą pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Zatem funkcja f(x) rośnie tam, gdzie , czyli gdy . Natomiast dla funkcja f(x) maleje. Z powyższego wynika, że dla x = -1 funkcja osiąga minimum: .
Obliczając drugą pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Druga pochodna jest dodatnia dla . Oznacza to, że dla funkcja f(x) jest wypukła, a dla funkcja f(x) jest wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x -2(-2,-1)-1(-1,0)0
---0+++
-0+++++
0( p. p.( min& 0 &
Wykres rozważanej funkcji przedstawiono na rysunku 1.
Przykład 2. Naszkicujemy wykres funkcji:
.
Dziedziną funkcji jest zbiór Df =R . Miejsca zerowe funkcji wyznaczamy, rozwiązując równanie:
.
Stąd otrzymujemy: lub .
Obliczamy następnie granice funkcji na krańcach przedziału określoności:

.
Wynika stąd, że prosta x = 0 jest asymptotą pionową krzywej y = f(x),
Nie istnieje natomiast asymptota pozioma. Nie istnieje także asymptota ukośna prawostronna, ponieważ mamy:

,
co znaczyłoby, że istnieje asymptota, której, jak wiemy nie ma, ponieważ mamy:

.
Obliczając pierwszą pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Pochodna ta ma jedno miejsce zerowe w punkcie x = e, ponadto:
,
.
Wynika stąd, że funkcja rośnie, gdy , a maleje, gdy . Oznacza to, że dla
x = e funkcja osiąga maksimum: .
Obliczając drugą pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Pochodna ta jest równa zero dla oraz:
i .
Oznacza to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziale jest wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x(0,1)1(1, ) ( , ) ( ,+ )
+++0---
-----0+
- & 0& 1max( 0p.p. (-
Wykres funkcji przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 2
Przykład 3. Zbadamy funkcję:
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df =R\\\\{1}. Badając granice na końcach dziedziny, mamy:
,
,
,
.
Druga z tych granic wskazuje na to, że wykres funkcji ma lewostronną asymptotę pionową o równaniu x = -1. Poszukując asymptot ukośnych, mamy następnie:
,

.
Wynika stąd, że wykres badanej funkcji ma obustronną asymptotę ukośną o równaniu
y = x – 1.
Obliczając pierwszą pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Równanie ma dokładnie dwa pierwiastki:
, .
Analizując znak pierwszej pochodnej, stwierdzamy, że badana funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz i malejąca w przedziałach oraz . W punkcie funkcja f(x) ma maksimum , a w punkcie minimum .

Rys. 3
Obliczając druga pochodną funkcji f(x), mamy:
.
Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek , przy czym , a ponadto:
,
.
Oznacza to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziałach oraz jest ona wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu badanej funkcji.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x ( ,-1)-1(-1, ) ( , )
+0-x---0+
---x-0+++
& -4.9max ( x0( -0.03p. p. (-0.08min (
Wykres funkcji przedstawiono na rysunku 3.
...


Widzisz tylko część pracy, aby zobaczyć całość, musisz się zalogować.

Nie masz jeszcze u Nas konta? Na co czekasz? ZAREJESTRUJ SIĘ JUŻ TERAZ

Zapomniałeś hasła? Skorzystaj z formularza przypominającego hasło.


Czytano: 1153 , autor: Mafej , Ocena: 46

      Blip Śledzik Twitter Facebook Buzz Wykop

Inne podobne teksty do tytułu Ogólny schemat badania przebiegu funkcji

Brak podobnych prac w bazie danych.

Losowe teksty z tej samej kategorii

Wzory: Funkcje sumy, różnic i wielokrotności kąta.
Równania (1)
Funkcje cyklometryczne
Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą podstawiania.
Ściąga z pól figur płaskich.
Szeregi funkcyjne i potęgowe
Liczby Pierwsze - program do wyszukiwania liczb pierwszych
Bajka o królu, szachach i ziarnach pszenicy
Różne tematy z Matematyki
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego


Wasze komentarze

Brak komentarzy dla danej pracy.




Zmień kategorię:

Zobacz także:

Przedmioty ścisłe
Chemia Chemia
Fizyka Fizyka
Informatyka Informatyka
Matematyka Matematyka

A A A A - zmień wielkość czcionki


Oceń pracę:

Ocena pracy wynosi 46.

Informacje o pracy:

⇒Dodano: 2008-11-13 09:35:43
⇒Czytano: 1153
Autor: Mafej


Dodatkowe opcje:

Drukuj stronę
ZGŁOŚ NARUSZENIE
Wyślij znajomemu
Dodaj do ULUBIONYCH



Dodaj komentarz:

Tytuł:

Treść: